TAL VEZ, AL VISITAR ESTE BLOG, DESCUBRAS QUE LAS MATEMÁTICAS SON MÁS DIVERTIDAS DE LO QUE CREÍAS...







DESDE 0... HASTA ∞

Desde 0…
En la antigüedad, la mejor manera de sumar era utilizando un ábaco, que es un instrumento de cálculo formado por filas de cuentas. Pero hace unos 1500 años, en la India tuvieron una idea mejor. Inventaron una manera de escribir números haciendo coincidir los símbolos con las filas de un ábaco. Esto permitía hacer sumas complicadas sin ábaco, pero anotando los números. Se necesitaba un número para las filas vacías, así que inventaron el cero. Fue una genialidad. Los nuevos números viajaron de Asia a Europa y se convirtieron en los números que usamos hoy.



El cero no siempre significa nada. Si colocas un cero al final de un número, lo multiplica por 10.
Cualquier número multiplicado por cero es igual a cero. Multiplicar por cero es fácil, pero dividir entre cero causa más problemas.
Dividir ecuaciones entre cero arroja conclusiones imposibles. Por ejemplo:
1 x 0 = 0
Dividiendo ambos términos entre 0, se obtiene: 1 = 0 : 0
Ahora tomemos otra ecuación:
2 x 0 = 0
Dividiendo ambos términos entre 0, esta vez obtenemos: 2 = 0 : 0
Lo que significa que 1 = 2
¿? Esto es imposible, es una paradoja. No se puede dividir entre cero, no tiene sentido. Podemos repartir 8 unidades entre 4, pero ¿podemos repartir 8 unidades entre nada?

… hasta ∞
¿Cuál es el número más grande que se te ocurre? Bueno, pensándolo un poco, siempre podemos sumar 1, y otra vez sumamos 1, y 1… No existe límite a lo grandes o pequeños que pueden ser los números, siempre hay un número más. Esta falta de límites de los números se denomina infinito, y se simboliza con algo parecido a un 8 tumbado, ∞.
Cuando el ocho duerme sueña con el infinito.
Si tuvieras una cantidad infinita de canicas, y cogieras una, seguirías teniendo una cantidad infinita. Si cogieras la mitad, todavía quedaría una cantidad infinita.
Infinito no es exactamente un número, es una idea, un concepto.
Una cantidad infinita de tiempo se llama eternidad.

LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Esta famosa serie de números fue descubierta por Leonardo Fibonacci hace 800 años.
La secuencia de Fibonacci es una secuencia infinita de números, que comienza por: 1, 1, 2, 3, 5, donde cada uno de ellos es la suma de los dos que le preceden.
Así: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8= 13, y así sucesivamente.

Aparece en los lugares más insospechados.
La sucesión de Fibonacci es muy común en las flores. El número de pétalos de una flor muchas veces coincide con uno de sus números. Las margaritas, por ejemplo, suelen tener 34, 55 u 89 pétalos.
La flor del girasol tiene 21 espirales que van en una dirección y 34 espirales en sentido contrario. Lo mismo sucede en las piñas, el brécol y las coliflores.
Al crecer, las plantas a veces producen ramas formando números de la serie. La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de Fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en tres (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente.


Una octava del teclado de un piano se compone de 13 teclas: 8 teclas blancas y 5 teclas negras, divididas a su vez en grupos de 3 y 2.

La sucesión de Fibonacci está íntimamente relacionada con el número 1,6180339..., conocido como Φ (phi), llamado la divina proporción, la proporción áurea o el número de oro. Este video explica de forma muy clara e interesante cómo se forma, qué significa y cómo lo encontramos en la naturaleza.
También podéis visualizar pinchando en este enlace el maravilloso video de Cristóbal Vila, de los Estudios Etérea, que relaciona los números, la geometría y la naturaleza.

Una última curiosidad: En Barcelona podéis visitar el original monumento a Fibonacci. Una serie de baldosas, en el Passeig de Joan de Borbó, muy cerca de la Barceloneta, tienen escritos en ellas unos números que quizá te suenen de algo...

ALGUNOS MÉTODOS PARA MULTIPLICAR

Además de para contar, puedes utilizar las manos para recordar la tabla del 9. Extiende las manos y enumera los dedos del 1 al 10, comenzando por el pulgar de la mano izquierda. Para recordar cualquier número multiplicado por 9, dobla el dedo correspondiente a ese número.
Por ejemplo, para multiplicar 7 x 9, dobla el séptimo dedo. Te quedan 6 dedos a la izquierda y 3 dedos a la derecha: la respuesta es 63.




Ahora quiero enseñarte otro método para multiplicar, un antiguo método árabe de multiplicación. Lo verás mejor en esta presentación que he elaborado.


Y por último, voy a explicarte cómo multiplicaban en el antiguo Egipto. Lo entenderás mejor con un ejemplo.
Formamos dos columnas. En la primera columna comenzamos por escribir el número 1, que se irá duplicando hasta casi alcanzar al primer número que vamos a multiplicar, sin superarlo. En la segunda columna, comenzamos por el otro número que vamos a multiplicar, y lo vamos duplicando tantas veces como lo hemos hecho en la primera columna.
A continuación, buscamos en la primera columna todos los números que sumen el que queremos multiplicar, y marcamos en la segunda columna los números que estén a su misma altura. El resultado de la multiplicación será la suma de los números que acabamos de marcar.

Por ejemplo, multiplicaremos 39 x 21

1 / 21
2 / 42
4 / 84
8 / 168
16 / 336
32 / 672

Vamos duplicando la primera columna hasta 32, ya que si duplicamos el número 32 nos pasamos de 39. Buscamos los números que sumen 39 en la primera columna, que en este caso serán 32 + 4 + 2 + 1. Los señalamos, y señalamos también los de la otra columna que estén a la misma altura.

Sumamos estos últimos: 21 + 42 + 84 + 672 = 819, que es el resultado que buscábamos.
Así, hemos convertido la multiplicación en sumas.

Si todavía te apetece aprender un nuevo método para multiplicar, en este caso gráficamente utilizando líneas, puedes ver este curioso video. ¡Espero que te guste!

PIRÁMIDES DE NÚMEROS

Aquí podeis ver algunas pirámides de números, bastante curiosas, creadas con sencillas operaciones matemáticas.

1 = 1²
1 + 3 = 2²
1 + 3 + 5 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 4²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5²

1 = 1³
3 + 5 = 2³
7 + 9 + 11 = 3³
13 + 15 + 17 + 19 = 4³
21 + 23 + 25 + 27 + 27 = 5³

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

En la página de Jesús Escudero Martín podeis encontrar estos ejemplos junto con muchos problemas y curiosidades numéricas para pasar un rato entretenido...

π

Hoy, 23 de abril, se celebra el Día del Libro.
Nada mejor que un poema para la ocasión.

EL NÚMERO PI
(Poema de Wislawa Szymborska, premio Nobel de Literatura 1996)

Digno de admiración es el número Pi
tres coma catorce.
Todas sus siguientes cifras también son iniciales,
quince noventa y dos porque nunca termina.
No se deja abarcar sesenta y cinco treinta y cinco con la mirada,
ochenta y nueve con los cálculos
setenta y nueve con la imaginación
y ni siquiera treinta y dos treinta y ocho con una broma o sea comparación
cuarenta y seis con nada
veintiséis cuarenta y tres en el mundo.
La serpiente más larga de la tierra después de muchos metros se acaba.
Lo mismo hacen aunque un poco después las serpientes de las fábulas.
La comparsa de cifras que forma el número Pi
no se detiene en el borde de la hoja,
es capaz de continuar por la mesa, el aire,
la pared, la hoja de un árbol, un nido, las nubes, y así hasta el cielo,
a través de toda esa hinchazón e inconmensurabilidad celestiales.
Oh, qué corto, francamente rabicorto es el cometa.
¡En cualquier espacio se curva el débil rayo de una estrella!
Y aquí dos treinta y uno cincuenta y tres diecinueve
mi número de teléfono el número de tus zapatos
el año mil novecientos setenta y tres piso sexto
el número de habitantes sesenta y cinco céntimos
centímetros de cadera dos dedos charada y mensaje cifrado,
en la cual ruiseñor que vas a Francia
y se ruega mantener la calma
y también pasarán la tierra y el cielo,
pero no el número Pi, de eso ni hablar,
seguirá sin cesar con un cinco en bastante buen estado,
y un ocho, pero nunca uno cualquiera,
y un siete, que nunca será el último,
y metiéndole prisa, eso sí, metiéndole prisa a la perezosa eternidad para que continúe.


El número Pi (π) es la circunferencia de un círculo dividida por su diámetro. Es igual en todos los círculos, no importa lo grandes o pequeños que sean. Es imposible calcularlo con exactitud, es infinitamente largo, sus decimales no acaban nunca. Es un número irracional.
Sus primeros cincuenta decimales son:
π ≈ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

Soy y seré a todos definible;
mi nombre tengo que daros:
cociente diametral siempre inmedible
soy, de los redondos aros.

Manuel Golmayo.

Contando el número de letras de cada palabra del poema de Manuel Golmayo, recordarás el valor de π con sus 20 primeros decimales.

Os dejo un enlace a la Página de π, una página muy completa con mucha información alrededor de π, y un enlace a otra página con poesías matemáticas.

¡VAMOS A PENSAR!

Hay muchas operaciones que son mucho más fáciles de hacer pensando un poquito antes de empezar.

Para sumar números grandes mentalmente, puedes redondear uno de los números al 10 más cercano. Por ejemplo, para sumar 27 y 48, redondea el 48 a 50 sumando 2. Suma 27 y 50, y obtendrás 77. Para terminar, resta el 2 que has añadido, y obtendrás 75.

Para multiplicar o dividir por 5, no olvides que 5 es la mitad de 10:

  • Para multiplicar, por ejemplo, 64 x 5, multiplica primero 64 x 10 = 640. Luego divide este número entre dos para obtener el resultado final, que es 320.
  • Para dividir entre 5, divide el número entre 10 y luego duplica la respuesta. Por ejemplo, para dividir 385 : 5, divide primero 385 : 10 = 38,5, y luego multiplícalo por dos. Obtendrás 77 (38,5 x 2).

Para multiplicar por 11, multiplica primero el número por 10 y luego súmaselo otra vez. Por ejemplo, para multiplicar 74 x 11, haz primero 74 x 10 = 740, y luego súmale 74, para obtener 814.

A continuación puedes ver un video muy interesante donde unos alumnos explican cómo piensan antes de restar.



Es cuestión de practicar, con la práctica resulta mucho más sencillo de lo que parece.

Para saber algo más sobre el cálculo mental, puedes descargar este documento de Judit Sowder.

MATEMAGIA


Os voy a enseñar dos trucos mágicos y alucinantes.

1. Da a un amigo una calculadora y dile:

  • Que marque el número del mes en que nació.

  • Que multiplique por 4

  • Que sume 13

  • Que multiplique por 25

  • Que reste 200

  • Que sume el día del mes en que nació

  • Que multiplique por 2

  • Que reste 40

  • Que multiplique por 50

  • Que sume los dos últimos dígitos del año en que nació

  • Que reste 10500

  • Mira la pantalla de la calculadora y dile su fecha de nacimiento.

    El primero o dos primeros dígitos indican el mes, los dos siguientes el día y los dos últimos el año.

    2. Dominó mágico:

    Dile a un amigo que elija una ficha de dominó al azar, sin mostrártela. Dile que multiplique uno de los dos números por 5, que sume 7, que multiplique por 2 y que sume el otro número de la ficha. Pregúntale la respuesta final.

    Ahora puedes averiguar cuál es la ficha de dominó. Sólo tienes que restar 14 de la respuesta para obtener un número de dos dígitos compuesto por los dos números de la ficha de dominó.

    Si os gusta la magia, podeis visitar la página Matemágicas, la traducción de una hermosa web francesa creada por Therese Eveilleau, con cantidad de trucos, ingenios, paradojas, ... ¡para sorprenderte y sorprender!

    GEOMETRÍA DE LA NATURALEZA

    ”Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, las cortezas de los árboles no son lisas y los relámpagos no se desplazan en línea recta”
    Benoît Mandelbrot




    Hasta hace 100 años, los matemáticos sólo estudiaban las formas perfectas como triángulos y círculos. Pero esas formas eran raras en el mundo real. En la naturaleza, las formas son irregulares: piensa en una costa accidentada o en una montaña escarpada.
    En 1975, el matemático Benoit Mandelbrot llamó fractales a estas formas infinitamente caóticas.


    Os dejo un enlace a la página web del Centro Aragonés de Tecnologías para la Educación (CATEDU), donde se pueden ver hermosas fotografías de naturaleza, ciudades, objetos o edificios con una mirada matemática.

    HUMOR MATEMÁTICO

    by Eva 0 comentarios
    ¿Es posible unir las palabras HUMOR y MATEMÁTICAS? ¿Lo intentamos?

    Pablo Flores Martínez es profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Granada. Ha publicado el libro Humor gráfico en el aula de matemáticas, con cerca de 4000 chistes, cómics y viñetas de todos los países del mundo recopilados durante años, todos ellos relacionados con las matemáticas y su enseñanza. Este profesor utiliza este material en sus clases. En su página web se pueden ver algunos ejemplos.